对新课标下数学概念教学的认识与思考

 湖北第二师范学院  冯光庭

 武汉市吴家山中学  刘忠君

《普通高中数学课程标准》指出：在教学中“应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解”。笔者最近观摩了部分教师的“概念课”的教学活动，深深感觉到“概念课”对提高课堂教学质量所起的积极作用是其它课型无法比拟的，并由此引发对“概念课”教学的认识与思考。在此，笔者就“概念课”的教学谈谈自己的认识与看法，并愿与同行共同探讨。

一、数学概念教学必须弄清的几个问题

1、数学概念的内涵和外延

概念是思维的基本形式，具有确定研究对象和任务的作用。数学概念则是数学思维的基本形式之一，是人们对客观世界从感性认识上升到理性认识的创造性成果。数学概念是客观事物中数与形的本质属性的反映，是构建数学理论大厦的基石，也可以说，数学概念是数学学科的灵魂和精髓。

在数学概念中，内涵和外延是构成数学概念的两个重要方面。数学概念的内涵就是该概念所包含的一切对象的共同的本质的属性，数学概念的外延就是该概念所包含的一切对象的总和。即若用集合 表示一个概念的外延时，则其中的 就是这个概念的内涵。如“函数”，其内涵就是从“一个非空数集A到另一个非空数集B的一个映射”，其外延就是具体的函数——正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数、……；又如圆锥曲线中的“椭圆（双曲线）”，其内涵是“平面上到两个定点的距离之和为定长的点的集合”，外延是指平面上各种各样的椭圆（双曲线）。一般来讲，概念的内涵和外延成反比例关系，即内涵越大，则外延越小；反之内涵越小，则外延越大。学习概念的关键是理解其内涵和外延，但在实际的学习和运用过程中，一些学生因对数学概念的外延把握不准而片面的理解概念，在运用中漏洞百出；一些学生只注重概念的形式，忽视其本质，以至不能灵活运用数学概念。

2、数学概念的分类方法

数学概念的分类方法有多种，它取决于研究者的观察视角和研究目的。但在教学过程中，教师必须掌握以下两种分类方法：

⑴以数学概念所反映的事物属性的类别为标准，可将其分为三类：反映数学基本元素的概念（如函数、棱柱、双曲线等），反映对象关系的概念（如平行、垂直、反函数、包含、充要条件等），反映对象特性的概念（如奇偶性、周期性、对称性、数列的极限等）。

⑵以数学概念的定义方式为标准，可将其分为四类：约定型的概念——特殊规定，即通过某种约定而获得概念（如 、 ）；实质型的概念——指出这个概念区别于其它概念的本质特征（如映射、等差数列等）；外延型的概念——若干类特殊对象的并，即列举出这个概念的全部对象（如实数）；发生型的概念——构造过程，即描述出这个对象产生的过程（如椭圆、旋转体中的圆柱、圆锥、圆台和球、排列、组合等）。

3、数学概念教学的基本要求

数学概念教学的基本要求是“帮助学生逐步加深理解”，“在初步运用中逐步理解概念的本质”。让学生掌握数学概念，即在理解的基础上，把它运用到新的情境之中。教学中，要使学生形成和掌握数学概念，必须达到以下基本要求：

⑴了解概念的实际背景，弄清概念产生的来龙去脉，理解定义概念的必要性与合理性；

⑵掌握概念的内涵和外延，即知道概念的本质属性是什么，哪些事物不属于这个概念，哪些事物属于这个概念，并能对其进行分类；

⑶能用不同方式和语言表述概念，熟悉其中符号的意义；

⑷明确新概念与已掌握的相关概念之间的内在联系，将新概念“同化”于原有的认知结构、知识体系之中，并能运用概念解决简单的具体问题。

如：“函数的单调性”，在学习时应让学生了解和掌握的有以下内容：

①它是从一些特殊函数图像的上升和下降的特征抽象概括出来反映对象特征的概念；

②本质：函数 在区间I上为增函数（或减函数），则对于任意 、 且 ，有 （或 ），反之亦然；

③用于分析基本初等函数，可得到基本初等函数的单调性，使我们更加清楚地认识初等函数；

④用于一般情形：判断函数的单调性，确定函数的单调区间，进而讨论函数图像的性质，比较函数值的大小，求函数的极值等。

二、数学概念教学的一般过程

《普通高中数学课程标准》在“实施建议”中指出：“由于数学高度抽象性的特点，注重体现数学概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。”数学概念的教学目的是帮助学生建立数学概念、理解数学概念、进而掌握数学概念，并在这个过程中学习数学的方法、体验数学的思想、感受数学文化。因而数学概念的教学应是一个过程，这个过程一般应包括：引入、形成、剖析、巩固和运用等五个主要步骤。

1、引入概念

布鲁纳曾指出：“当基本概念以正规形式出现在儿童面前时，他们如果事先没有从直觉上加以理解，对这些概念则将无能为力。”正因为如此，概念的引入是学生能否学好概念的关键一步。一般来讲，概念的引入有以下三种方法：

⑴通过对现实材料分析抽象引入概念。使学生获得丰富的和切全实际的感性材料是学生理解数学概念的首要条件。教学中，引导学生从分析日常生活和生产实际中的实例入手，通过观察有关的实物、图示、模型，或引导学生根据已有的数学经验和知识，通过对熟悉的数学对象（如代数式、图形等）的数量关系和空间形式的观察和分析，在形成充分感性认识的基础上引入概念。

⑵通过数学自身发展的内在需要引入概念。数学自身发展的内在需要既是推动数学发展的动力之一，也是调动学生学习积极性、激发其内在需要的重要素材。通过揭示数学自身发展过程中的矛盾、问题，打破学生的原有的认知结构，再引导学生探索化解矛盾和解决问题的途径，从而引入概念。

⑶通过类比引入概念。类比不仅是思维的一种重要形式，而且也是引入新概念的一种重要方法。如二面角可类比平面角引入；等比数列可类比等差数列引入；组合可类比排列引入等。这种类比还可以在不同类的，但相似、相近或相关的事物中进行，通过类比能使相比较的客体的本质更加明确，使“模糊”的概念更加清晰，更能防止知识间的混淆和割离。

2、形成概念

瑞士心理学家皮亚杰曾指出：“任何教学水平上，概念的形成乃是儿童活动和个体经验的结果。”学生要真正形成数学概念，必须实现从对数学对象的具体的感性认识到对数学对象的抽象的理性认识的飞跃，这个“飞跃”过程是学生观察、分析、感知数学对象的过程，也是学生在教师引导下对数学对象的加工改造、精确刻画、抽象概括、探索发现的过程。

一般地，学生要形成一个数学概念，需要经历一个从片面到全面、从模糊到清晰、从表象联系到实质联系的复杂的思维过程，决不可能一步到位。所以，在教学中教师不能急于求成，不能急于下定义，急于抛出概念，而应引导学生进行观察、分析、综合、探索、猜想、创造，决定取舍，形成概念，让学生在交流中、在反思中逐步实现对数学对象的具体的感性认识到对数学对象的理性认识的过渡，从而形成概念。

比如在“异面直线的距离”概念的教学中，教材中是先给出异面直线公垂线的概念，然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。这样做并不能让学生认识到这个概念的本质。教学中可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念，如两点之间的距离，点到直线的距离，两条平行线之间的距离，引导学生思考这些距离有什么特点。回顾之后发现共同的特点是最短与垂直。然后启发学生思考：在两条异面直线上是否也存在这样的两点，它们之间的距离是否是最短的？如果存在，应当有什么特征？通过实物模型演示确认这样的线段存在，且其长是最短的。在此基础上，自然地给出异面直线距离的概念。这样做，不仅使学生得到了探索、猜想、归纳、概括能力的训练，还尝到了数学发现的滋味，认识到“异面直线的距离”这个概念的本质。

3、剖析概念

在初步建立数学概念的定义之后，学生虽然对其有了一定的理性认识，但这仅仅是对概念认识的开始，面对新的数学术语和新的数学符号，需要有一个解读的过程和理解的过程，这就需要教师及时地引导学生来“解剖”定义，分析其结构特征、揭示其关键词的涵义、探讨其内涵和外延、寻求其表示方法、对其所包含的对象进行分类，在这个过程中理解概念的定义，从而实现对概念的透彻理解。

这里要特别强调的是在数学概念的教学中教师不能仅满足学生获得概念、得到定义，更不能只要求学生形式地背诵定义而不理解它们的实际背景。因为数学概念的定义语言精炼、符号抽象，对初学者来讲要真正理解定义中的数学术语和数学符号的涵义是困难的，即使成绩优秀的学生，也需要教师帮助他们理解其涵义。而有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。

如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：⑴用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；⑵用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；⑶任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出：①三角函数值在各个象限的符号；②同角三角函数的基本关系式；③三角函数线；④三角函数的图象与性质；⑤三角函数的诱导公式等。由此可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键的作用。

再如讲解“函数单调性”的概念后，对其进行剖析：(1) 、 是该区间内任意的两个实数，如果忽略任意取值这个条件，就不能保证函数的单调性，然后举例说明；(2) 函数的单调区间是其定义域上的子集；(3) 定义的内涵是用自变量的变化来刻划函数值的变化规律 ，外延分为：①一般规律——自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减，②几何特征——在自变量取值的区间上，若单调函数的图象从左向右上升则为增函数，图象从左向右下降则为减函数。

4、巩固概念

研究表明，概念一旦获得，若不及时加以巩固，就会被遗忘。巩固概念，首先应当在形成和剖析之后，及时地让学生阅读教材，复述概念，并用不同的方法描述概念、表示概念，以加深对概念的印象；其次是进行巩固性练习，设计有一定层次的、体现概念本质特征的练习，让学生在识别、判断、推理或计算的过程中，加深对概念的理解，达到巩固概念的目的；第三是通过举反例从反面来巩固概念，防止学生对概念理解的片面性，防止在应用过程中出现错误和混淆。

5、应用概念

应用概念是学生真正理解概念、掌握概念的重要一环。在学生获得数学概念之后，就立即引导学生运用所学概念来解决“引入概念”时提出的问题或其它问题（包括数学问题和生产、生活中的实际问题），让学生在解决问题的过程中深化对概念的认识，理解概念的本质，从而将其同化于已有的知识结构之中。

如，在建立“映射”的概念之后，引导学生尝试解决以下问题，可有效地帮助学生对概念加以巩固，并加深对概念内涵与外延的理解：

问题1：下列对应是否是集合A到集合B的映射？

⑴A=R，B=R₊， ：x→y =|x|；

⑵A=N，B=N₊ ， ：x→y =|x－4|；

⑶ ， ， ：x→y =x²－2x＋2；

⑷ ， ， ：x→y =（b－a）x＋2a－b。

问题2：集合A=N₊ ， ， ：x→ ；求在 的作用下 的原象。

问题3：已知A={p，q}，B={a，b，c}，从集合A到集合B的所有映射有多少个？

三、数学概念的教学设计

在具体实施数学概念教学的过程中，因为影响学生理解和掌握的因素是多种多样的，各个概念产生的背景和表现形式也是多种多样的，所以教师应灵活地设计出符合学生认知特点的、体现概念特征的教学活动过程，并注意以下几点：

第一、学生学习和掌握数学概念需要有一个过程。任何概念，特别是数学概念，不是直接由教师向学生 “抛出”概念之后、再讲几个例子就能使学生真正掌握的，这就需要教师在教学过程中认真落实“展示背景、挖掘本质、推迟判断、暴露思维”的原则，让学生真正感受到引入概念的必要性、定义概念的合理性，然后通过自己的观察、实验和感知，类比、归纳和猜想、分析、综合和推理等探索活动，实现对新概念的建构。

第二、为了帮助学生更有效地学习数学概念，教师要注意直观教学的原则，力图用形象化的方式（包括形象化的语言、形象化的动作、形象化的符号和使用直观教具）解释数学概念。还要及时地引导学生对所学概念进行分类和总结，使之系统化和条理化，并纳入自己的知识系统之中。

第三、由于数学概念的高度抽象性和数学语言的精炼性，学生对数学概念的理解和掌握不可能一次就能实现，甚至有的数学概念本身就不能通过一次的教学来完成，还需要借助于不同的知识才能真正理解它。所以教师要从整体出发、科学设计、合理安排对一些重要概念的巩固和强化，使之通过一定的反复（如习题课、复习课等）逐步加深理解、实现内化。

第四、在概念的教学过程中渗透数学思想方法，使学生受到数学文化的熏陶。数学概念产生的过程，正是众多数学家探索、发现和创造的过程，也是数学思想方法产生的过程。如果教师能通过深挖数学概念的背景，将发现过程中活生生的数学“返璞归真”地教给学生、将数学家们艰难的探索历程展现给学生，并让学生亲自参与发现过程中困惑的情景，历经探索过程的磨砺，从而汲取更多的思维营养、体会数学的思想方法和数学的精神、感受数学家的坚强意志和献身精神，受到数学文化的熏陶。

另外，在概念教学中，要根据新课标对概念教学的具体要求，创造性地使用教材，对教材中干扰概念教学的例子要更换，对脱离学生实际的概念运用问题要大胆删去。要优化教学设计，真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，达到认识数学思想和本质的目的，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，并在此过程中培养学生逻辑思维和空间想象的能力。只有这样，才能使我们在教学时中目的明确，方法对头，既不会造成为概念而教学，也不会在教学时顾此失彼。

课堂教学是一门艺术，作为“概念课”，理应为它增色添彩。如何上好“概念课”，是值得我们每个教师认真探讨和研究的问题。以上仅从三个方面谈了自己的认识与看法，很不全面，愿作引玉之“砖”，并恳请同行斧正。